Come si spiega quale sia il "cambiamento di misura" nel teorema di Girsanov? Come viene usato il teorema di Girsanov e quale applicabilità ha tutto questo per la finanza matematica e la probabilità?
Risposte
05/17/2024
LaMori Klepper
I cambiamenti della misura di probabilità sono importanti nella finanza matematica perché consentono di esprimere i prezzi dei derivati in una forma "neutrale al rischio" come una somma attualizzata attualizzata di dividendi. Ciò a sua volta consente di calcolare molti prezzi derivati (ad es. Opzioni) in forma chiusa.
Più precisamente, quando modelliamo i prezzi dei titoli e dei derivati nella finanza matematica, prendiamo come dato una "vera" misura di probabilità P, che assegna le probabilità a diversi stati del mondo. Questi stati a loro volta influenzano il percorso dei prezzi dei titoli (ad esempio, il processo dei prezzi del sottostante o del tasso breve) nonché la dimensione dei dividendi. Questi stati e le corrispondenti probabilità dovrebbero riflettere le credenze soggettive dei trader o degli investitori su ciò che accadrà in futuro.
Sfortunatamente, sotto P di solito non possiamo valutare i derivati come flussi di dividendi attesi attesi. Nel linguaggio tecnico, il processo di prezzo scontato di un derivato non è una martingala: cioè se C_t è il prezzo di un derivato al momento ter è il tasso breve (consideriamo che sia costante per semplicità), NON è generalmente il caso che
C_t = E_t[e^{-r(s - t)} C_s]
per s> t, dove E_t è l'aspettativa di tempo-t secondo la misura di probabilità P. Ciò rende difficile elaborare il processo dei prezzi. (In realtà, le costruzioni senza arbitraggio o la formula di Feynman-Kac ti daranno un PDE esplicito la cui soluzione è C_t, ma la sua soluzione dovrà generalmente essere calcolata numericamente.) [1]
Ciò che vogliamo è una misura di probabilità artificiale Q (cioè assegnare diverse probabilità agli stati del mondo rispetto a P) in base alla quale il processo derivato scontato È una martingala. Tale Q è spesso chiamata "misura neutrale al rischio". [2] Potremmo in generale assegnare tutte le probabilità che volevamo agli stati del mondo, fino alle condizioni tecniche della teoria delle misure. Ma le aspettative su queste misure generalmente non corrisponderebbero a nulla nel mondo reale. La chiave qui è che per la giusta scelta della misura Q, le aspettative rispetto a Q danno effettivamente i prezzi (reali) di titoli e derivati.
Una misura Q neutrale rispetto al rischio ci consente di valutare le cose nel modo seguente: Supponiamo che a un certo punto T vi sia un facile argomento di determinazione dei prezzi senza arbitraggio che fissa C_T. Ad esempio, se C è il processo di prezzo di una call europea in stock S e T è la data di esercizio, allora C_T = (S_T - K) ^ +, dove K è il prezzo di esercizio. In questo caso, la proprietà martingala wrt Q implica che
1) Come possiamo costruire questa misura Q neutrale al rischio?
2) Come si presenta il percorso di S_t in Q? (Dobbiamo saperlo per poter calcolare le sue aspettative tempo-T in Q.)
Il teorema di Girsanov aiuta a rispondere a entrambe le domande, nel modo seguente. (Attenzione: ciò che segue è in qualche modo tecnico.)
Si scopre che (fino a poche condizioni tecniche), un processo di prezzo C_t per un derivato su S_t evita opportunità di arbitraggio solo se una misura neutrale al rischio per il processo di prezzo della S sottostante è anche una misura neutrale al rischio per C. Quindi vogliamo costruire una misura neutrale al rischio per S.
Supponiamo di modellare S come un processo di diffusione della deriva Ito, cioè supponiamo che
dS_t = \mu_t \, dt + \sigma_t \, dW_t
per appropriati processi di deriva e diffusione, con W_t un processo di Weiner (cioè un moto browniano) sotto P.
Il teorema di Girsanov (in particolare, un corollario facile ad esso) ci dice, quando cambiamo da P ad un'altra misura Q, come W_t si evolve sotto Q. In particolare, W_t si evolve come la somma di un moto browniano sotto Q e un processo di deriva correlato al derivato Radon-Nikodym che caratterizza Q. [3] Vogliamo quindi scegliere il derivato Radon-Nikodym in modo che la deriva di W_t wrt Q annulli esattamente la deriva di (la versione scontata di) S_t, lasciandoci con un puro processo di diffusione. In condizioni tecniche lievi, il processo di diffusione risultante sarà una martingala, il che significa che Q è una misura neutrale al rischio.
Quindi il teorema di Girsanov in realtà risolve entrambi i nostri problemi contemporaneamente: ci dice quale nuova misura di probabilità vogliamo scegliere, E ci dice che (la versione scontata di) S_t si evolve come un processo di diffusione pura con la nuova misura. Ciò ci consente di calcolare in modo semplice le aspettative nella formula dei prezzi neutrale al rischio e di risolvere esplicitamente il prezzo del derivato. [4] Questo è un modo per arrivare alla formula dei prezzi delle opzioni di Black-Scholes.
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Ho esaminato molti dettagli qui (pur essendo contemporaneamente più tecnico di quanto volessi), ma ho cercato di catturare l'essenza di come i cambiamenti di probabilità misurano e il teorema di Girsanov sono usati nella finanza matematica. Si noti che il teorema di Girsanov è in realtà più generale del risultato usato qui, e ha alcune implicazioni aggiuntive nella teoria dei processi stocastici che non sono molto qualificato per commentare. Ma questa spiegazione riflette come ho visto il teorema usato nella finanza matematica.
[1] La formula del "prezzo futuro scontato" che ho fornito funziona solo se nel frattempo il derivato non paga dividendi. Altrimenti, dovremmo sostituire il prezzo scontato con il "processo di guadagno deflazionato", che incorpora i dividendi pagati lungo il percorso. Ma questo è davvero più tecnico di quello che voglio essere per questa risposta.
[2] L'idea alla base del nome "misura neutrale al rischio" è che puoi quotare i titoli come se fossi neutrale al rischio e non ti interessasse alcuna volatilità nel flusso di dividendi o nel processo di prezzo.
[3] Il derivato Radon-Nikodym è anche chiamato processo di densità e ti dice quanta probabilità il peso Q assegna ai vari stati del mondo rispetto a P. Cattura letteralmente l'adeguamento che stai facendo alle probabilità fornite da P. Se hai familiarità con la funzione di densità di una distribuzione di probabilità come la distribuzione normale, la derivata RN è molto simile. La densità di una distribuzione normale indica la quantità di peso assegnata sotto la distribuzione normale a un determinato piccolo intervallo della linea reale, mentre la derivata RN indica la quantità di peso assegnata sotto Q a una porzione piccola (sotto P) della spazio statale. In effetti, per essere tecnicamente precisi, una funzione di densità di probabilità è solo la derivata RN di una misura di probabilità assolutamente continua rispetto alla misura di Lebesgue, quindi sono davvero la stessa cosa concettualmente.
[4] "Semplice" è relativo: una discreta quantità di algebra, e spesso qualche altro cambiamento di misura, va a calcolare effettivamente le aspettative nella rappresentazione neutrale al rischio. Ma è un grande primo passo, in quanto ti consente almeno di scrivere una formula esplicita per il prezzo.
Direi che dipende sia dal segmento in VC che bersaglio (A) sia dalla tua personalità (B).A) Segmento VC- Seme / stadio iniziale VCQui di solito non è richiesta esperienza di investment banking (IB) poiché il lavoro è molto diverso da quello che faresti in una banca (modellistica, ricerca e presentazioni). Essere un socio in quelle aziende significa procurarsi il 50% di risorse, ad esempio e-mail, ...
Più precisamente, quando modelliamo i prezzi dei titoli e dei derivati nella finanza matematica, prendiamo come dato una "vera" misura di probabilità P, che assegna le probabilità a diversi stati del mondo. Questi stati a loro volta influenzano il percorso dei prezzi dei titoli (ad esempio, il processo dei prezzi del sottostante o del tasso breve) nonché la dimensione dei dividendi. Questi stati e le corrispondenti probabilità dovrebbero riflettere le credenze soggettive dei trader o degli investitori su ciò che accadrà in futuro.
Sfortunatamente, sotto P di solito non possiamo valutare i derivati come flussi di dividendi attesi attesi. Nel linguaggio tecnico, il processo di prezzo scontato di un derivato non è una martingala: cioè se C_t è il prezzo di un derivato al momento ter è il tasso breve (consideriamo che sia costante per semplicità), NON è generalmente il caso che
C_t = E_t[e^{-r(s - t)} C_s]
per s> t, dove E_t è l'aspettativa di tempo-t secondo la misura di probabilità P. Ciò rende difficile elaborare il processo dei prezzi. (In realtà, le costruzioni senza arbitraggio o la formula di Feynman-Kac ti daranno un PDE esplicito la cui soluzione è C_t, ma la sua soluzione dovrà generalmente essere calcolata numericamente.) [1]
Ciò che vogliamo è una misura di probabilità artificiale Q (cioè assegnare diverse probabilità agli stati del mondo rispetto a P) in base alla quale il processo derivato scontato È una martingala. Tale Q è spesso chiamata "misura neutrale al rischio". [2] Potremmo in generale assegnare tutte le probabilità che volevamo agli stati del mondo, fino alle condizioni tecniche della teoria delle misure. Ma le aspettative su queste misure generalmente non corrisponderebbero a nulla nel mondo reale. La chiave qui è che per la giusta scelta della misura Q, le aspettative rispetto a Q danno effettivamente i prezzi (reali) di titoli e derivati.
Una misura Q neutrale rispetto al rischio ci consente di valutare le cose nel modo seguente: Supponiamo che a un certo punto T vi sia un facile argomento di determinazione dei prezzi senza arbitraggio che fissa C_T. Ad esempio, se C è il processo di prezzo di una call europea in stock S e T è la data di esercizio, allora C_T = (S_T - K) ^ +, dove K è il prezzo di esercizio. In questo caso, la proprietà martingala wrt Q implica che
C_t = E^Q_t[e^{-r(T-t)} C_T] = E^Q_t[e^{-r(T - t)} (S_T - K)^+].
Ci rimangono due domande importanti:
1) Come possiamo costruire questa misura Q neutrale al rischio?
2) Come si presenta il percorso di S_t in Q? (Dobbiamo saperlo per poter calcolare le sue aspettative tempo-T in Q.)
Il teorema di Girsanov aiuta a rispondere a entrambe le domande, nel modo seguente. (Attenzione: ciò che segue è in qualche modo tecnico.)
Si scopre che (fino a poche condizioni tecniche), un processo di prezzo C_t per un derivato su S_t evita opportunità di arbitraggio solo se una misura neutrale al rischio per il processo di prezzo della S sottostante è anche una misura neutrale al rischio per C. Quindi vogliamo costruire una misura neutrale al rischio per S.
Supponiamo di modellare S come un processo di diffusione della deriva Ito, cioè supponiamo che
dS_t = \mu_t \, dt + \sigma_t \, dW_t
per appropriati processi di deriva e diffusione, con W_t un processo di Weiner (cioè un moto browniano) sotto P.
Il teorema di Girsanov (in particolare, un corollario facile ad esso) ci dice, quando cambiamo da P ad un'altra misura Q, come W_t si evolve sotto Q. In particolare, W_t si evolve come la somma di un moto browniano sotto Q e un processo di deriva correlato al derivato Radon-Nikodym che caratterizza Q. [3] Vogliamo quindi scegliere il derivato Radon-Nikodym in modo che la deriva di W_t wrt Q annulli esattamente la deriva di (la versione scontata di) S_t, lasciandoci con un puro processo di diffusione. In condizioni tecniche lievi, il processo di diffusione risultante sarà una martingala, il che significa che Q è una misura neutrale al rischio.
Quindi il teorema di Girsanov in realtà risolve entrambi i nostri problemi contemporaneamente: ci dice quale nuova misura di probabilità vogliamo scegliere, E ci dice che (la versione scontata di) S_t si evolve come un processo di diffusione pura con la nuova misura. Ciò ci consente di calcolare in modo semplice le aspettative nella formula dei prezzi neutrale al rischio e di risolvere esplicitamente il prezzo del derivato. [4] Questo è un modo per arrivare alla formula dei prezzi delle opzioni di Black-Scholes.
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Ho esaminato molti dettagli qui (pur essendo contemporaneamente più tecnico di quanto volessi), ma ho cercato di catturare l'essenza di come i cambiamenti di probabilità misurano e il teorema di Girsanov sono usati nella finanza matematica. Si noti che il teorema di Girsanov è in realtà più generale del risultato usato qui, e ha alcune implicazioni aggiuntive nella teoria dei processi stocastici che non sono molto qualificato per commentare. Ma questa spiegazione riflette come ho visto il teorema usato nella finanza matematica.
[1] La formula del "prezzo futuro scontato" che ho fornito funziona solo se nel frattempo il derivato non paga dividendi. Altrimenti, dovremmo sostituire il prezzo scontato con il "processo di guadagno deflazionato", che incorpora i dividendi pagati lungo il percorso. Ma questo è davvero più tecnico di quello che voglio essere per questa risposta.
[2] L'idea alla base del nome "misura neutrale al rischio" è che puoi quotare i titoli come se fossi neutrale al rischio e non ti interessasse alcuna volatilità nel flusso di dividendi o nel processo di prezzo.
[3] Il derivato Radon-Nikodym è anche chiamato processo di densità e ti dice quanta probabilità il peso Q assegna ai vari stati del mondo rispetto a P. Cattura letteralmente l'adeguamento che stai facendo alle probabilità fornite da P. Se hai familiarità con la funzione di densità di una distribuzione di probabilità come la distribuzione normale, la derivata RN è molto simile. La densità di una distribuzione normale indica la quantità di peso assegnata sotto la distribuzione normale a un determinato piccolo intervallo della linea reale, mentre la derivata RN indica la quantità di peso assegnata sotto Q a una porzione piccola (sotto P) della spazio statale. In effetti, per essere tecnicamente precisi, una funzione di densità di probabilità è solo la derivata RN di una misura di probabilità assolutamente continua rispetto alla misura di Lebesgue, quindi sono davvero la stessa cosa concettualmente.
[4] "Semplice" è relativo: una discreta quantità di algebra, e spesso qualche altro cambiamento di misura, va a calcolare effettivamente le aspettative nella rappresentazione neutrale al rischio. Ma è un grande primo passo, in quanto ti consente almeno di scrivere una formula esplicita per il prezzo.