Come vengono utilizzate le equazioni differenziali nei mercati economico e finanziario?

Risposte

06/14/2024
Sheya Dunstan

In macroeconomia, molti modelli sono linearizzati attorno a uno stato stazionario usando un'approssimazione di Taylor. Mentre questo ha i suoi usi, diversi fenomeni economici interessanti come le crisi finanziarie si verificano solo quando l'economia è lontana dallo stato stazionario e presentano effetti non lineari che i modelli linearizzati matematicamente non possono catturare. La letteratura sulla macrofinanza a tempo continuo aggira questo problema risolvendo equazioni differenziali derivate dall'uso del calcolo stocastico, che estende il calcolo per consentire l'integrazione rispetto alle variabili casuali nel tempo. Esaminerò uno dei documenti più importanti della letteratura, Brunnermeier e Sannikov (2014), ma qui è un sondaggio più ampio della letteratura.

Alcuni dei principali contributi economici di Brunnermeier e Sannikov (2014) (di seguito BruSan) sono:

  1. Lontano dallo stato stocastico (stocastico), in cui l'economia è in "periodi buoni", gli attriti finanziari possono generare un'elevata volatilità dei prezzi delle attività e amplificazioni non lineari di piccoli shock sull'economia.
  2. Dopo una crisi finanziaria, ci vuole molto più tempo per riprendersi in "bei tempi" perché il settore finanziario impiega molto tempo a ricapitalizzare.
  3. Paradosso della volatilità: anche se il livello di rischio fondamentale scende a zero, la probabilità di una crisi finanziaria non converge a zero. In altre parole, anche se riduci asintoticamente la quantità di rischio fondamentale, otterrai comunque una probabilità diversa da zero.

Per fornire queste intuizioni in un modello economico, BruSan ricava due ODE di secondo ordine. Il modello inizia con una legge stocastica del moto per l'evoluzione del capitale,

\dfrac{dk_t}{k_t} = \mu\, dt + \sigma\, dZ_t,\tag{1}

where \mu è un tasso controllabile di crescita del capitale, \sigma è il "rischio fondamentale" dato e fisso dell'economia, e dZ_t è un moto browniano standard. Quindi postuli che il prezzo del capitale q_t segue

\dfrac{dq_t}{q_t} = \mu^{q}_t\, dt + \sigma^{q}_t\, dZ_t,\tag{2}

where \mu^q_t,\sigma_t^q sono quantità sconosciute da trovare. Allo stesso modo, postuli che l'utilità marginale della ricchezza per il settore finanziario sia

\dfrac{d\theta_t}{\theta_t} = \mu^{\theta}_t\, dt + \sigma^{\theta}_t\, dZ_t,\tag{3}

where \mu^\theta_t,\sigma_t^\theta sono anche sconosciuti.

L'obiettivo è trovare una variabile di stato \eta_t la cui evoluzione può essere scritta come equazione differenziale stocastica. Una volta trovata questa variabile di stato, usi il lemma di Ito, che è come una regola a catena ma per il calcolo stocastico, per esprimere q_t,\theta_t come funzioni di \eta_t. È quindi possibile scrivere \sigma^q_t,\sigma^\theta_t come funzioni di q_t,\theta_t, i loro primi derivati ​​e dati parametri. Allo stesso modo, puoi scrivere \mu_t^q,\mu_t^\theta in termini di q_t,\theta_t; i loro primi e secondi derivati; e dati parametri. Utilizzando tecniche della teoria della scelta del portafoglio, puoi anche scrivere \mu_t^q,\mu_t^\theta come funzioni di \sigma^q_t,\sigma^\theta_te dati parametri. Equilibrando le tue due espressioni per \mu_t^q,\mu_t^\theta, ottieni due ODE di secondo ordine per q_t,\theta_t. Per ammettere una soluzione numerica, il modello è impostato per implicare un numero sufficiente di condizioni al contorno. Date queste condizioni al contorno, si risolvono gli ODE lungo una griglia discreta in \eta_t.

Per ottenere il primo contributo, si esamina il comportamento di q_t ed \sigma_t^q as \eta_t, la proxy del modello per la salute del settore finanziario, si allontana dallo stato stocastico stabile, che è dove \eta_t si sposta verso se non si verificano mai shock. Per ottenere il secondo contributo, BruSan mostra che il tempo previsto per \eta_t tornare allo stato stazionario risolve un'equazione differenziale del primo ordine con coefficienti che dipendono dalla legge del moto per \eta_t. Per ottenere il terzo contributo, lo mostri \sigma_t^\eta converge in un numero diverso da zero come \sigma\rightarrow 0.

Hanser
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