Perché il moto browniano è spesso usato in finanza? In che modo è diverso modellare la stessa cosa usando un processo di camminata casuale con una deriva?
Risposte
05/05/2024
Rochelle Skomsky
Nel 1900, il matematico francese Louis Bachelier (1870-1946) completò una tesi di dottorato (supervisionata dal grande Henri Poincaré) in cui ha elaborato un modello per la variazione dei prezzi delle attività (cioè delle cose che possono essere acquistate e vendute più volte) come azioni e obbligazioni. La tesi, intitolata Théorie de la spéculation ("Teoria della speculazione") ha ricevuto un riscontro positivo dalla giuria ed è stato pubblicato poco dopo. Fu poi ampiamente dimenticato per sessant'anni, fino a quando non fu salvato dall'oscurità dall'economista Paul Samuelson e altri, che hanno realizzato che Bachelier aveva dato un contributo fondamentale al problema della comprensione dei prezzi delle attività. La tesi di Bachelier è ora generalmente citata come documento fondativo della finanza quantitativa. Nel 2006 è stato pubblicato in traduzione inglese dalla Princeton University Press, con una prefazione di Samuelson e un commento di due matematici britannici:
L'intuizione chiave di Bachelier era che se i prezzi delle attività mostrassero un modello identificabile (diverso dalla tendenza di crescita a lungo termine associata all'espansione macroeconomica), ci si aspetterebbe che gli speculatori lo troverebbero e lo sfrutterebbero, eliminandolo in tal modo. Quindi, per esempio, se fosse possibile sapere ora che il prezzo di un determinato titolo aumenterà in tre mesi, gli speculatori che si scambiano su quella conoscenza agiranno per appianare quel picco.
Vale la pena citare il rapporto ufficiale sulla tesi di Bachelier, co-firmato da Poincaré, Appell e Boussinesq:
One could imagine combinations of prices on which one could bet with certainty. The author cites some examples. It is clear that such combinations are never produced, or that if they are produced they will not persist. The buyer believes in a probable rise, without which he would not buy, but if he buys, there is someone who sells to him and this seller believes a fall to be probable. From this it follows that the market taken as a whole considers the mathematical expectation of all transactions and all combinations of transactions to be null. [emphasis added]
Quindi, dopo che gli speculatori hanno incorporato tutte le conoscenze disponibili nei loro scambi, ci si aspetta che il risultato saranno prezzi che mostrano fluttuazioni imprevedibili, indipendentemente dalla loro storia passata. Questo è ciò che oggi viene chiamato "passeggiata casuale"o, in determinati contesti, un"martingala".
Le equazioni che Bachelier ha ottenuto da questo modello corrispondono a ciò che è noto in fisica come Moto browniano. Bachelier ha scritto questo per cinque anni prima Il celebre articolo di Albert Einstein che spiega il moto fisico browniano in termini di meccanica statistica. Per quanto ne sappiamo, Einstein non ha mai sentito parlare di Bachelier. La teoria matematica del moto browniano come processo stocastico è stata successivamente formalizzata da Norbert Wiener. Alcuni matematici hanno quindi indicato il moto browniano come "Bachelier-Processo di salciccia".
Bachelier stesso era ben consapevole (anzi, guidato da) un'analogia con la legge di Fourier per la diffusione fisica del calore (vedi equazione del calore). Secondo il rapporto ufficiale:
The manner in which M. Bachelier extracts [the central limit theorem] is very original and all the more interesting as his reasoning could extend with some changes to the theory of [the propagation of uncertainty]. He develops it in a chapter whose title seems a little strange, because he calls it 'Radiation of Probability'. It is in effect a comparison with the analytic theory of heat propagation to which the author has had recourse. A little reflection shows that the analogy is real and the comparison legitimate. The reasoning of Fourier is applicable almost without change to this problem, so different from that for which it was created.
Le intuizioni di Bachelier furono perfezionate e sistematizzate negli anni '1970 da Black, Scholes e Merton (vedi Modello Black-Scholes), nel contesto della risoluzione di opzione problema di prezzo in finanza. Questo ha vinto Scholes e Merton il premio Nobel per l'economia per il 1997 (a quel punto Black era morto). Black e Scholes iniziano il loro articolo del 1973 spiegandolo
If options are correctly priced in the market, it should not be possible to make sure profits by creating portfolios of long and short positions in options and their underlying stocks. Using this principle, a theoretical valuation formula for options is derived.
Si noti che tale modello si basa sul presupposto che tutti economicamente rilevanti informazioni ciò che potrebbe influire sui prezzi è stato infatti incorporato dagli speculatori nei prezzi stessi. Questo è stato chiamato il "ipotesi di mercato efficiente". In economia, un"efficiente"Il risultato è quello in cui tutti i guadagni derivanti dal commercio sono stati realizzati, in modo che tutti stiano bene, senza dover peggiorare qualcun altro. In questo particolare contesto, significa che gli speculatori hanno trovato tutti i possibili guadagni che si possono ottenere giocando sul mercato, in modo che ciò che resta sia un movimento browniano dei prezzi delle attività (sulla tendenza a lungo termine determinata dai "fondamentali", come la crescita macroeconomica, piuttosto che dalla speculazione).
In che misura ciò sia vero nel mondo reale è una questione di intenso e intenso dibattito accademico. Una battuta spesso raccontata in questo contesto è che due professori di economia stanno camminando per strada, quando si nota una banconota da $ 100 stesa a terra. Mentre il primo economista sta per ritirarlo, l'altro (che evidentemente crede in mercati efficienti) dice: "Lascialo. Se fosse stato un vero conto da $ 100, qualcun altro lo avrebbe già raccolto."
L'ipotesi di mercato efficiente (e quindi i modelli di moto browniani) sembra funzionare bene a breve termine. A lungo termine, tuttavia, appaiono ampie fluttuazioni che sono difficili da conciliare con l'efficienza del mercato. Questo si collega al difficile problema di spiegare teoricamente le maggiori fluttuazioni del ciclo di affari, inclusa la ricorrenza di crisi finanziarie e recessioni macroeconomiche.
Il dibattito su questo argomento è stato messo in evidenza dal Premio Nobel per l'economia 2013, assegnato a Fama, Hansen e Shiller (si veda il relativo "informazioni avanzate"sul sito web della Nobel Foundation). Fama è uno dei difensori più noti ed efficaci dell'ipotesi di mercato efficiente. Shiller ha coniato il termine" esuberanza irrazionale "per descrivere come la psicologia della folla può portare a bolle nei prezzi di determinati beni, che alla fine Hansen è da qualche parte nel mezzo di tali punti di vista e ha sviluppato strumenti matematici per studiare il problema in base ai dati. Pertanto, il comitato Nobel ha coperto la sua posizione sulla questione dell'efficienza dei mercati delle attività (come farebbe qualsiasi ragionevole analista finanziario " ho consigliato loro di fare di fronte all'incertezza).
Un'ovvia inefficienza dei mercati delle attività è il "insider trading", quando qualcuno sa qualcosa che il resto del mondo non conosce ancora e usa quella conoscenza per fare un commercio redditizio sul mercato. Tuttavia, in un mercato delle attività grande, sofisticato e robusto, ci si aspetterebbe che le opportunità di insider trading siano generalmente una tantum e molto a breve termine. Un problema più profondo è se il valutazioni del rischio di vari titoli sono generalmente affidabili, come dovrebbero essere in un mercato efficiente. Il fatto che tali rating avrebbero dovuto sviare molti investitori nel periodo che precede la crisi finanziaria del 2007-08 mi suggerisce che il mercato potrebbe talvolta discostarsi in modo significativo dall'efficienza.
Entrambi questi termini possono essere usati per descrivere un acquisto in cui si promette di pagarlo nel tempo. Finanziare un acquisto è comprarlo "a credito", e in questo uso sono sinonimi.Come termini che descrivono argomenti più ampi, il credito riguarda in particolare prestiti e prestiti, sia che descrivano transazioni che coinvolgono singoli consumatori, società che emettono obblig...
Nel 1900, il matematico francese Louis Bachelier (1870-1946) completò una tesi di dottorato (supervisionata dal grande Henri Poincaré) in cui ha elaborato un modello per la variazione dei prezzi delle attività (cioè delle cose che possono essere acquistate e vendute più volte) come azioni e obbligazioni. La tesi, intitolata Théorie de la spéculation ("Teoria della speculazione") ha ricevuto un riscontro positivo dalla giuria ed è stato pubblicato poco dopo. Fu poi ampiamente dimenticato per sessant'anni, fino a quando non fu salvato dall'oscurità dall'economista Paul Samuelson e altri, che hanno realizzato che Bachelier aveva dato un contributo fondamentale al problema della comprensione dei prezzi delle attività. La tesi di Bachelier è ora generalmente citata come documento fondativo della finanza quantitativa. Nel 2006 è stato pubblicato in traduzione inglese dalla Princeton University Press, con una prefazione di Samuelson e un commento di due matematici britannici:
L'intuizione chiave di Bachelier era che se i prezzi delle attività mostrassero un modello identificabile (diverso dalla tendenza di crescita a lungo termine associata all'espansione macroeconomica), ci si aspetterebbe che gli speculatori lo troverebbero e lo sfrutterebbero, eliminandolo in tal modo. Quindi, per esempio, se fosse possibile sapere ora che il prezzo di un determinato titolo aumenterà in tre mesi, gli speculatori che si scambiano su quella conoscenza agiranno per appianare quel picco.
Vale la pena citare il rapporto ufficiale sulla tesi di Bachelier, co-firmato da Poincaré, Appell e Boussinesq:
Quindi, dopo che gli speculatori hanno incorporato tutte le conoscenze disponibili nei loro scambi, ci si aspetta che il risultato saranno prezzi che mostrano fluttuazioni imprevedibili, indipendentemente dalla loro storia passata. Questo è ciò che oggi viene chiamato "passeggiata casuale"o, in determinati contesti, un"martingala".
Le equazioni che Bachelier ha ottenuto da questo modello corrispondono a ciò che è noto in fisica come Moto browniano. Bachelier ha scritto questo per cinque anni prima Il celebre articolo di Albert Einstein che spiega il moto fisico browniano in termini di meccanica statistica. Per quanto ne sappiamo, Einstein non ha mai sentito parlare di Bachelier. La teoria matematica del moto browniano come processo stocastico è stata successivamente formalizzata da Norbert Wiener. Alcuni matematici hanno quindi indicato il moto browniano come "Bachelier-Processo di salciccia".
Bachelier stesso era ben consapevole (anzi, guidato da) un'analogia con la legge di Fourier per la diffusione fisica del calore (vedi equazione del calore). Secondo il rapporto ufficiale:
Le intuizioni di Bachelier furono perfezionate e sistematizzate negli anni '1970 da Black, Scholes e Merton (vedi Modello Black-Scholes), nel contesto della risoluzione di opzione problema di prezzo in finanza. Questo ha vinto Scholes e Merton il premio Nobel per l'economia per il 1997 (a quel punto Black era morto). Black e Scholes iniziano il loro articolo del 1973 spiegandolo
Si noti che tale modello si basa sul presupposto che tutti economicamente rilevanti informazioni ciò che potrebbe influire sui prezzi è stato infatti incorporato dagli speculatori nei prezzi stessi. Questo è stato chiamato il "ipotesi di mercato efficiente". In economia, un"efficiente"Il risultato è quello in cui tutti i guadagni derivanti dal commercio sono stati realizzati, in modo che tutti stiano bene, senza dover peggiorare qualcun altro. In questo particolare contesto, significa che gli speculatori hanno trovato tutti i possibili guadagni che si possono ottenere giocando sul mercato, in modo che ciò che resta sia un movimento browniano dei prezzi delle attività (sulla tendenza a lungo termine determinata dai "fondamentali", come la crescita macroeconomica, piuttosto che dalla speculazione).
In che misura ciò sia vero nel mondo reale è una questione di intenso e intenso dibattito accademico. Una battuta spesso raccontata in questo contesto è che due professori di economia stanno camminando per strada, quando si nota una banconota da $ 100 stesa a terra. Mentre il primo economista sta per ritirarlo, l'altro (che evidentemente crede in mercati efficienti) dice: "Lascialo. Se fosse stato un vero conto da $ 100, qualcun altro lo avrebbe già raccolto."
L'ipotesi di mercato efficiente (e quindi i modelli di moto browniani) sembra funzionare bene a breve termine. A lungo termine, tuttavia, appaiono ampie fluttuazioni che sono difficili da conciliare con l'efficienza del mercato. Questo si collega al difficile problema di spiegare teoricamente le maggiori fluttuazioni del ciclo di affari, inclusa la ricorrenza di crisi finanziarie e recessioni macroeconomiche.
Il dibattito su questo argomento è stato messo in evidenza dal Premio Nobel per l'economia 2013, assegnato a Fama, Hansen e Shiller (si veda il relativo "informazioni avanzate"sul sito web della Nobel Foundation). Fama è uno dei difensori più noti ed efficaci dell'ipotesi di mercato efficiente. Shiller ha coniato il termine" esuberanza irrazionale "per descrivere come la psicologia della folla può portare a bolle nei prezzi di determinati beni, che alla fine Hansen è da qualche parte nel mezzo di tali punti di vista e ha sviluppato strumenti matematici per studiare il problema in base ai dati. Pertanto, il comitato Nobel ha coperto la sua posizione sulla questione dell'efficienza dei mercati delle attività (come farebbe qualsiasi ragionevole analista finanziario " ho consigliato loro di fare di fronte all'incertezza).
Un'ovvia inefficienza dei mercati delle attività è il "insider trading", quando qualcuno sa qualcosa che il resto del mondo non conosce ancora e usa quella conoscenza per fare un commercio redditizio sul mercato. Tuttavia, in un mercato delle attività grande, sofisticato e robusto, ci si aspetterebbe che le opportunità di insider trading siano generalmente una tantum e molto a breve termine. Un problema più profondo è se il valutazioni del rischio di vari titoli sono generalmente affidabili, come dovrebbero essere in un mercato efficiente. Il fatto che tali rating avrebbero dovuto sviare molti investitori nel periodo che precede la crisi finanziaria del 2007-08 mi suggerisce che il mercato potrebbe talvolta discostarsi in modo significativo dall'efficienza.